理解数列极限定义。】
【方法：不背定义，先找现实对应物。】
写完，他重新播放视频。
老师从数列极限讲到函数极限。
【当x趋近于x?时，f(x)趋近于A。】
然后又暂停，写了一页。
【x趋近，不等于x真的到了。】
【像我从石屋走向水坑。距离越来越小，但可以不站到水坑中心。】
【函数值趋近，是位置变化引起结果变化。】
他画了一条歪歪扭扭的线。
左边标石屋，右边标水坑，中间画了几个点。
点下面写x?、x?、x?。
越靠近水坑，空气湿度越高，地面越潮，矿物酸味越重。
如果把距离水坑中心的位置当成x，把空气里那股酸味浓度当成f(x)，那么人越靠近水坑，f(x)越接近某个值。
但你不需要真的跳进水坑，你只是在靠近。
江临知道这个例子很粗糙，还不严谨。
可它有用。
有用就够了。
他从来不是那种一眼看透本质的天才。
学习方法也一直很笨。
只是尝试把抽象的东西拖到地上，按进泥里，揉进自己的生活里。
只有这样，它才不再飘着。
上午，他学了四页，四页高等数学。
其中两页还是目录、导言和符号说明。
但他没有像之前那样焦虑了。
因为这一次，草稿纸上留下来的不是抄写的定义，而是一堆虽然笨拙但属于他自己的解释。
中午，他煮了一锅土豆黄豆糊。
说是煮，其实就是用废土石头垒的小炉灶，烧枯木和干南瓜藤，把切碎的土豆、泡软的黄豆和一点苔藓碎末放进金属饭盒里熬。
水是酸雨处理后的水。
先用活性炭和棉过滤，再用小苏打调到接近中性，最后煮沸。
味道很差。
土豆有一股淡淡的矿物腥味，黄豆因为品种和环境原因，煮出来不够香，苔藓更是带着挥之不去的苦。
他往里面撒了一点盐。
那点盐是从现实世界带来的，弥足珍贵。
江临端着饭盒坐在石屋门口，一口一口吃。
吃着吃着，他想起了电脑里下载好的《费曼物理学讲义》。
他本来想在一个月内把高等数学开个头，再开始普通物理。
现在看来，一个月能把极限和连续啃明白就不错了。
甚至极限和连续都未必啃得明白。
江临吃完最后一口土豆糊，拿清水涮了饭盒，把那点混着淀粉的水也喝掉。
他回到书桌前，没有继续往后看。
而是在草稿本上开了一个新栏目。
【概念本】
第一页写：【极限】
下面分成五栏。
第一栏：教材定义。
第二栏：人话解释。
第三栏：现实例子。
第四栏：反例。
第五栏：常见题型。
他先把数列极限的定义抄到第一栏。
然后在人话解释里写：【不管你要求离目标多近，只要后面足够靠后，就全都能进入这个范围。】
现实例子写：【废土土豆田产量逐年稳定。】
反例这一栏，他想了很久。
写下：【如果数列一会儿靠近A，一会儿跑远，而且永远这样，就没有极限。】
他举了一个最简单的：【a?=(-1)?】
一会儿是1，一会儿是-1。
永远跳，不收敛。
他在旁边写：【像孙明考试前一天说要努力，第二天又打游戏。状态在1和-1之间跳，没有极限。】
写完他自己都不由自主笑了一声。
石屋里没有孙明，只有风声从门缝里挤进来。
江临笑完之后，又觉得有点想那个大脑袋胖子了。
想他一边嚼辣条一边问：“老江，这题为什么选c啊？”
想他听完解释之后痛苦地抱头：“草，我就不该长两只手。”
当然，这种想念很短，短到像风吹过灯芯，一晃就过去了。
江临低下头，继续写。
下午，他开始看例题。
第一道例题：证明数列1/n的极限为0。
这道题，如果用高中思维看，太简单了。
n越大，1/n越小，当然趋近于0。
还用证明？
可大学数学要你证明，用定义证明。
江临刚开始觉得多此一举。
后来硬着头皮往下看，才明白这不是为了证明1/n会趋近0。
这是为了训练你使用定义。
题目要求：对于任意e＞0，要找到N，使得当n＞N时，|1/n-0|＜e。
也就是1/n＜e。
等价于n＞1/e。
所以只要取N＞1/e即可。
答案很短。
短到让人不适。
江临把它抄了一遍。
没懂透。
又抄一遍。
还是觉得哪里不对。
他停下来，在草稿纸上举具体数值。
如果e=0.1，那么只要n＞10，1/n就小于0.1。
如果e=0.01，那么只要n＞100，1/n就小于0.01。
如果e=0.000001，那么只要n＞，1/n就小于0.000001。
所以N随着e变化。
e不是固定的。
N也不是固定的。
别人给你多严格的要求，你就找一个足够靠后的起点。
这就是证明的核心。
江临在旁边写：【证明极限，就是接受对方任意刁难，然后给出一个足够靠后的起点。】
写完，他觉得这句话很像废土。
废土也在任意刁难他。
酸雨，重金属，风暴，孤独……
它给一个e。
他找一个N。
第一年不行，就第二年。
第二年不行，就第五年。
五年不行，就十年。
只要还没有死，只要还能继续往后走，总有一个位置，会让那些曾经不可承受的东西，变成可控误差。
傍晚的时候，太阳沉到地平线附近。
暗红色的光从石屋窗口斜斜照进来，照在草稿本上。
江临看了一眼今天的成果。
高等数学教材，推进四页。
视频，推进二十七分钟。
草稿纸，写了十九页。
概念本，完成数列极限初版。
例题，真正做懂两道。
江临没有骂自己。
他把那两道例题重新合上，遮住答案，在白纸上独立写了一遍证明。
第一道，1/n趋近于0。
第二道，(2n+1)/n趋近于2。
第二道略微复杂一点。
|(2n+1)/n-2|=|1/n|=1/n。
和第一道一样。
取N＞1/e。
证明完成。
每一个量词都没有省。
对于任意e＞0。
取正整数N，使得N＞1/e。
当n＞N时，有……
写到最后一行。
故li2n+1)/n=2。
江临放下笔。
屋外风声很大，屋内灯光很稳。
他忽然意识到，这可能就是他大学学习的第一块砖。
不是费曼物理，不是量子力学。
不是那些听起来能让人热血沸腾的宇宙，粒子，黑洞，时间，空间。
而是一道简单到近乎寒酸的证明题。
证明1/n趋近于0。
可这块砖如果没放稳，后面所有东西都会歪。
江临翻开笔记本，在今日记录最后写。
【第十二日。】
【高数进度极慢。】
【但今天第一次明白：大学不是更多题，而是更深的定义。】
【以后每学一个新概念，必须完成五栏：定义、人话、现实例子、反例、题型。】
【不许骗自己。】
最后四个字，力透纸背。
因为做题可以装，看视频可以装，抄笔记更可以装。
写满一本草稿纸，看起来很努力。
一天学习十二个小时，看起来很刻苦。
可到底懂没懂，只有自己知道。
江临以前最擅长骗自己。
说什么这道题我差不多会了，说什么这个知识点我回头再补，说什么这次只是粗心，说什么只要再努力一点，成绩就会上去……
还是废土教会了他，现实不会因为你的自我安慰而放过你。
没水就是没水，没粮就是没粮。
土壤ph值不对，种子就是会烂。
你说自己努力过，没有用，你得真的把水处理到能喝。
真的把土翻松，真的让黄豆长出根瘤。
学习也一样。
你说自己懂了，没有用。
【方法：不背定义，先找现实对应物。】
写完，他重新播放视频。
老师从数列极限讲到函数极限。
【当x趋近于x?时，f(x)趋近于A。】
然后又暂停，写了一页。
【x趋近，不等于x真的到了。】
【像我从石屋走向水坑。距离越来越小，但可以不站到水坑中心。】
【函数值趋近，是位置变化引起结果变化。】
他画了一条歪歪扭扭的线。
左边标石屋，右边标水坑，中间画了几个点。
点下面写x?、x?、x?。
越靠近水坑，空气湿度越高，地面越潮，矿物酸味越重。
如果把距离水坑中心的位置当成x，把空气里那股酸味浓度当成f(x)，那么人越靠近水坑，f(x)越接近某个值。
但你不需要真的跳进水坑，你只是在靠近。
江临知道这个例子很粗糙，还不严谨。
可它有用。
有用就够了。
他从来不是那种一眼看透本质的天才。
学习方法也一直很笨。
只是尝试把抽象的东西拖到地上，按进泥里，揉进自己的生活里。
只有这样，它才不再飘着。
上午，他学了四页，四页高等数学。
其中两页还是目录、导言和符号说明。
但他没有像之前那样焦虑了。
因为这一次，草稿纸上留下来的不是抄写的定义，而是一堆虽然笨拙但属于他自己的解释。
中午，他煮了一锅土豆黄豆糊。
说是煮，其实就是用废土石头垒的小炉灶，烧枯木和干南瓜藤，把切碎的土豆、泡软的黄豆和一点苔藓碎末放进金属饭盒里熬。
水是酸雨处理后的水。
先用活性炭和棉过滤，再用小苏打调到接近中性，最后煮沸。
味道很差。
土豆有一股淡淡的矿物腥味，黄豆因为品种和环境原因，煮出来不够香，苔藓更是带着挥之不去的苦。
他往里面撒了一点盐。
那点盐是从现实世界带来的，弥足珍贵。
江临端着饭盒坐在石屋门口，一口一口吃。
吃着吃着，他想起了电脑里下载好的《费曼物理学讲义》。
他本来想在一个月内把高等数学开个头，再开始普通物理。
现在看来，一个月能把极限和连续啃明白就不错了。
甚至极限和连续都未必啃得明白。
江临吃完最后一口土豆糊，拿清水涮了饭盒，把那点混着淀粉的水也喝掉。
他回到书桌前，没有继续往后看。
而是在草稿本上开了一个新栏目。
【概念本】
第一页写：【极限】
下面分成五栏。
第一栏：教材定义。
第二栏：人话解释。
第三栏：现实例子。
第四栏：反例。
第五栏：常见题型。
他先把数列极限的定义抄到第一栏。
然后在人话解释里写：【不管你要求离目标多近，只要后面足够靠后，就全都能进入这个范围。】
现实例子写：【废土土豆田产量逐年稳定。】
反例这一栏，他想了很久。
写下：【如果数列一会儿靠近A，一会儿跑远，而且永远这样，就没有极限。】
他举了一个最简单的：【a?=(-1)?】
一会儿是1，一会儿是-1。
永远跳，不收敛。
他在旁边写：【像孙明考试前一天说要努力，第二天又打游戏。状态在1和-1之间跳，没有极限。】
写完他自己都不由自主笑了一声。
石屋里没有孙明，只有风声从门缝里挤进来。
江临笑完之后，又觉得有点想那个大脑袋胖子了。
想他一边嚼辣条一边问：“老江，这题为什么选c啊？”
想他听完解释之后痛苦地抱头：“草，我就不该长两只手。”
当然，这种想念很短，短到像风吹过灯芯，一晃就过去了。
江临低下头，继续写。
下午，他开始看例题。
第一道例题：证明数列1/n的极限为0。
这道题，如果用高中思维看，太简单了。
n越大，1/n越小，当然趋近于0。
还用证明？
可大学数学要你证明，用定义证明。
江临刚开始觉得多此一举。
后来硬着头皮往下看，才明白这不是为了证明1/n会趋近0。
这是为了训练你使用定义。
题目要求：对于任意e＞0，要找到N，使得当n＞N时，|1/n-0|＜e。
也就是1/n＜e。
等价于n＞1/e。
所以只要取N＞1/e即可。
答案很短。
短到让人不适。
江临把它抄了一遍。
没懂透。
又抄一遍。
还是觉得哪里不对。
他停下来，在草稿纸上举具体数值。
如果e=0.1，那么只要n＞10，1/n就小于0.1。
如果e=0.01，那么只要n＞100，1/n就小于0.01。
如果e=0.000001，那么只要n＞，1/n就小于0.000001。
所以N随着e变化。
e不是固定的。
N也不是固定的。
别人给你多严格的要求，你就找一个足够靠后的起点。
这就是证明的核心。
江临在旁边写：【证明极限，就是接受对方任意刁难，然后给出一个足够靠后的起点。】
写完，他觉得这句话很像废土。
废土也在任意刁难他。
酸雨，重金属，风暴，孤独……
它给一个e。
他找一个N。
第一年不行，就第二年。
第二年不行，就第五年。
五年不行，就十年。
只要还没有死，只要还能继续往后走，总有一个位置，会让那些曾经不可承受的东西，变成可控误差。
傍晚的时候，太阳沉到地平线附近。
暗红色的光从石屋窗口斜斜照进来，照在草稿本上。
江临看了一眼今天的成果。
高等数学教材，推进四页。
视频，推进二十七分钟。
草稿纸，写了十九页。
概念本，完成数列极限初版。
例题，真正做懂两道。
江临没有骂自己。
他把那两道例题重新合上，遮住答案，在白纸上独立写了一遍证明。
第一道，1/n趋近于0。
第二道，(2n+1)/n趋近于2。
第二道略微复杂一点。
|(2n+1)/n-2|=|1/n|=1/n。
和第一道一样。
取N＞1/e。
证明完成。
每一个量词都没有省。
对于任意e＞0。
取正整数N，使得N＞1/e。
当n＞N时，有……
写到最后一行。
故li2n+1)/n=2。
江临放下笔。
屋外风声很大，屋内灯光很稳。
他忽然意识到，这可能就是他大学学习的第一块砖。
不是费曼物理，不是量子力学。
不是那些听起来能让人热血沸腾的宇宙，粒子，黑洞，时间，空间。
而是一道简单到近乎寒酸的证明题。
证明1/n趋近于0。
可这块砖如果没放稳，后面所有东西都会歪。
江临翻开笔记本，在今日记录最后写。
【第十二日。】
【高数进度极慢。】
【但今天第一次明白：大学不是更多题，而是更深的定义。】
【以后每学一个新概念，必须完成五栏：定义、人话、现实例子、反例、题型。】
【不许骗自己。】
最后四个字，力透纸背。
因为做题可以装，看视频可以装，抄笔记更可以装。
写满一本草稿纸，看起来很努力。
一天学习十二个小时，看起来很刻苦。
可到底懂没懂，只有自己知道。
江临以前最擅长骗自己。
说什么这道题我差不多会了，说什么这个知识点我回头再补，说什么这次只是粗心，说什么只要再努力一点，成绩就会上去……
还是废土教会了他，现实不会因为你的自我安慰而放过你。
没水就是没水，没粮就是没粮。
土壤ph值不对，种子就是会烂。
你说自己努力过，没有用，你得真的把水处理到能喝。
真的把土翻松，真的让黄豆长出根瘤。
学习也一样。
你说自己懂了，没有用。